Svođenje na jednu jednadžbu višeg reda

Jedna od metoda se sastoji u tome da se višestrukim deriviranjem jednadžbi izbace sve nepoznate funkcije osim jedne. Na taj način dolazimo do jedne linearne diferencijalne jednadžbe $n$-tog reda, koju zatim rješavamo poznatim metodama.

Primjer 1.17   Treba naći opće rješenje sustava

$$y'(x) = -2y(x)-4z(x)+1+4x$$

$$z'(x) = -y(x)+z(x)+x.$$ (1.7)

Rješenje.

$$y''(x)=-2y'(x)-4z'(x)+4.$$ (1.8)

Iz prve jednadžbe izračunamo $z(x)$, uvrstimo u drugu i zatim $z'(x)$ iz druge uvrstimo u (1.8). Dobivamo

$$y''(x)+y'(x)-6y(x)=-6x^2-4x+3.$$

Opće rješenje ove jednadžbe je

$$y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x}+x+x^2.$$

Uvrštavanjem u prvu jednadžbu možemo naći $z$:

$$z(x)=-C_1e^{2x}+\frac{1}{4}C_2e^{-3x}-\frac{1}{2}\,x^2.$$

Dakle

$$% latex2html id marker 24215 \left[ \begin{array}{c} y(x) \... ...gin{array}{c} x+x^2 \\ -\frac{1}{2} x^2 \end{array}\right],$$

pa vidimo da je

$$% latex2html id marker 24217 \boldsymbol{u}_1=e^{2x}\left[ \... ...ft[ \begin{array}{r} 1 \\ -\frac{1}{2} \end{array}\right].$$