Zaključak.

Ako s $X_0$ označimo skup svih rješenja pripadnog homogenog, a s $X_b$ skup svih rješenja nehomogenog sustava, onda je $X_0$ vektorski prostor dimenzije $n-r,$ gdje je $r$ rang matrice sustava, i vrijedi

$$X_0 = \{\lambda_1\,\boldsymbol{u}_1 +\lambda_2\,\boldsymbol{u}_2 +\cdots +\lambda_{n-r}\,\boldsymbol{u}_{n-r}\},$$

gdje $\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2, \ldots, \boldsymbol{u}_{n-r}$ čine bazu u $X_0,$ a $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_{n-r}$ su proizvoljni brojevi. Također vrijedi

$$X_b = \{\boldsymbol{x}_p+\boldsymbol{u};\,\boldsymbol{u}\in X_0\}.$$

Primjer 1.12   Riješiti sustav jednadžbi

$$\begin{array}{rrrrrrr} 2\,x_1 & +3\,... ...= & 1 \\ 5\,x_1 & -3\,x_2 & +2\,x_3 & +7\,x_4 & -\,x_5 & = & -8. \end{array}$$

Rješenje. Rješenje ovog sustava je svaka uređena petorka (vektorstupac)

$$\left[ \begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{array} \right],$$

koja zadovoljava svaku jednadžbu. Gauss-Jordanovim postupkom dolazimo do sustava

$$x_1\hspace{.8cm}+x_3+2\,x_4+x_5 = -1$$

$$x_2+x_3+x_4+2\,x_5 = 1.$$

Odatle,

$$x_1 = -1-x_3-2\,x_4-x_5$$

$$x_2 = 1-x_3-x_4-2\,x_5,$$

pa je rješenje

$$\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{... ...t]+x_5 \left[ \begin{array}{r} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right].$$

Pri tom je $\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]$ partikularno rješenje, a vektori $\left[ \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ ... ...ght],\; \left[ \begin{array}{r} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]$

čine bazu u vektorskom prostoru svih rješenja pripadnog homogenog sustava.