Inverzna matrica

Primijetimo najprije da je u dokazu teorema 5 korišteno samo svojstvo regularnosti matrice $T,$ tako da teorem vrijedi i u slučaju da je $T$ bilo koja regularna matrica. Budući da za regularnu kvadratnu matricu ${A}$ vrijedi $A^{-1}A=I,$ i da množenje s regularnom matricom $A^{-1}$ ne mijenja rang (broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca), slijedi da su stupci (reci) regularne matrice linearno nezavisni. Također vrijedi i obrat. Ako su stupci (reci) kvadratne matrice linearno nezavisni, onda je matrica regularna.

Neka je ${A}$ kvadratna regularna matrica. Gauss-Jordanovom metodom, odnosno množenjem s lijeva s elementarnim matricama $Q_1,Q_2,\ldots,Q_k$ svedemo ${A}$ na $I$

$$Q_1\,Q_2\,\cdots\,Q_k\,A = I.$$

Tada je $Q_1Q_2\cdots Q_k=A^{-1},$ i

$$Q_1Q_2\cdots Q_k\left[ \begin{array}... ..._k \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc} I & A^{-1} \end{array} \right].$$

Ova formula nam daje postupak za invertiranje matrice. Taj postupak se sastoji u tome da formiramo pravokutnu matricu tako da matrici ${A}$ dodamo jediničnu matricu $I$ istog reda, i zatim elementarnim operacijama nad recima prvi dio pravokutne matrice (onaj gdje se prvobitno nalazila matrica ${A}$) svedemo na jediničnu matricu. U drugom dijelu pravokutne matrice se tada nalazi $A^{-1}.$

Primjer 1.11   Treba invertirati matricu

$$A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & ... ...1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right].$$

Rješenje.

$$\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 1 ... ... 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

$$\sim\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 ... ... 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

$$\sim\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 ... ...1 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

$$\sim\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 ... ... & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].$$

Odatle

$$A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr} 2 &... ... -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].$$

Množenjem se lako može provjeriti da je to doista inverzna matrica matrice $A.$