Metoda Runge-Kutta

U metodi Runge-Kutta se također računa $y_{i+1}$ pomoću već poznate vrijednosti $y_i.$ Taj račun je točniji, jer uzima u obzir i neke međuvrijednosti funkcije $f.$ Tako imamo sljedeći algoritam

Algoritam 10   (Metoda Runge-Kutta) Izaberemo dovoljno velik prirodni broj $n.$ Za zadani korak

$$h = \frac{b-a}{n}$$

računamo niz brojeva $(y_n)$ po formuli

$$y_{i+1} = y_{i} + \frac{1}{6}\,\left(k_1 + 2\,k_2 + 2\,k_3 + k_4\right),\qquad i=0,1,2,\ldots,n-1,$$
gdje je

$$k_1 = h\,f(x_i,y_i)$$

$$k_2 = h\,f\left(x_i + {\scriptstyle{\frac{h}{2}}},y_i + \scriptstyle{\frac{k_1}{2}}\right)$$

$$k_3 = h\,f\left(x_i + {\scriptstyle{\frac{h}{2}}},y_i + \scriptstyle{\frac{k_2}{2}}\right)$$

$$k_4 = h\,f(x_i + h,y_i + k_3).$$

Početna vrijednost $y_0$ je određena početnim uvjetom.

Radi bolje preglednosti prilikom računanja se koristi tabela

$i$	$x_i$	$y_i$	$h\,f$
0	$x_0=a$	$y_0$	$k_1$	$k_1$
	$x_0+\frac{h}{2}$	$y_0+\frac{k_1}{2}$	$k_2$	$2\,k_2$
	$x_0+\frac{h}{2}$	$y_0+\frac{k_2}{2}$	$k_3$	$2\,k_3$
	$x_0+h$	$y_0+k_3$	$k_4$	$k_4$
				$\frac{1}{6}\,\sum\approx{}y_1-y_0$
$1$	$x_1$	$y_1$	$k_1$	$k_1$
	$x_1+\frac{h}{2}$	$y_1+\frac{k_1}{2}$	$k_2$	$2\,k_2$
	$x_1+\frac{h}{2}$	$y_1+\frac{k_2}{2}$	$k_3$	$2\,k_3$
	$x_1+h$	$y_1+k_3$	$k_4$	$k_4$
				$\frac{1}{6}\,\sum\approx{}y_2-y_1$
$2$	$x_2$	$y_2$	$k_1$	$k_1$
	...	...	...	...

Postoji cijela familija metoda zasnovanih na ideji da se podsegment podijeli na još manje dijelove kako bi se izračunala vrijednost u sljedećem čvoru. Sve one nose naziv Runge-Kutta metode. Opisani postupak se najčešće upotrebljava.